Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明∫[∫f(t)dt]dx=∫(1-x)f(x)dx

前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[0,x],第三个积分符号积分区间是[0,1].

Answer 1

调换一下积分次序即可。
对式子左边先对x积分，后对t 积分，则为∫[∫f(t)dx]dt.前面第一个积分符号积分区间是[0,1],第二个积分符号积分区间是[t,1].
f(t)对先x积分得到的结果就是f(t)*(1-t)。现在就只是关于t式子,用x替换t不影响定积分的结果，替换之后就是原式右边