Question

高中数学三角函数部分的一个题目。

设函数f（x）（见图片），x属于R，其中|t|小于等于1，将f（x）的最小值记为g（t）。
（1）求g（t）的表达式。
（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值。
不好意思忘了上传图片了。

Answer 1

（1）f(x)=(sinx)^2-1-2tsinx+4t^3+t^2-3t+4
=(sinx-t)^2+4t^3-3t+3
|t|≤1
所以，当sinx=t时，f(x)有最小值=4t^3-3t+3
即g(t)=4t^3-3t+3

（2）g'(t)=12t^2-3
令g'(t)=12t^2-3=0
求出顶点为±1/2

因此在（-1，1）内
当-1＜t＜-1/2或1/2＜t＜1时，g'(t)＞0，函数单调递增
当-1/2≤t≤1/2时，g'(t)＜0，函数单调递减

分别求出：g(-1)=2，g(-1/2)=4，g(1/2)=2，g(1)=4
所以，在（-1，1）内，
g(t)的最大值是4，最小值是2.

Answer 2

（1）f(x)=(sinx)²-2tsinx+4t^3+t²-3t+3
=(sinx-t)²+(4t^3)-3t+3.
∵|t|≤1，
∴g(t)=(4t^3)-3t+3.

（2）解导函数g’(t)=12t²-3≥0得-1≤t≤-1/2或1/2≤t≤1，
∴g(x)的递增区间(-1,-1/2),(1/2,1)
递减区间(-1/2，1/2)，
极大值：当t=-1/2时，为4；
极小值：当t=1/2时，为2.

Answer 3

图呢
写起来好麻烦啊。。。
化成sinx的形式，然后配方。
得f(x)=(sinx-t)^2+h(t) 其中h(t）是化简后剩的项，我懒就不写了。
最小值当然是sinx=t时取得，h(t)就是所求的表达式，二次函数的极值应该会了吧。

Answer 4

RT

Answer 5

(1)先用倍角公式得f(x)=-1/2-1/2*cos2x-2tsin2x+4t^3+t^2-3t+4>=(1/4+4t*2)^(1/2)+4r^3+t^2-3t+2/7
即g(t)=>=(1/4+4t*2)^(1/2)+4r^3+t^2-3t+2/7
(2)求导后计算