Question

过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB(O为原点)的面积S最小时，求l的方程和

过点P(4,1)作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB(O为原点)的面积S最小时，求l的直线方程和S的最小值

要有完全的演算过程

Answer 1

设直线x/a+y/b=1
过P
4/a+1/b=1
所以b=1/(1-4/a)=a/(a-4)
面积= ab/2=a^2/2(a-4)

a^2/(a-4)=(a^2-16+16)/(a-4)
=(a^2-16)/(a-4)+16/(a-4)
=a+4+16/(a-4)
=(a-4)+16/(a-4)+8

因为交点是正半轴，所以b=a/(a-4)>0且a>0
分子大于0则分母a-4>0
所以(a-4)+16/(a-4)+8>=2√[(a-4)*16/(a-4)]+8=16
当a-4=16/(a-4)时取等号
a=8
b=a/(a-4)=2

所以直线是x+4y-8=0
S最小=16/2=8