Question

用曲线积分求摆线一拱的面积

摆线参数方程为x=a(t-sint) y=a(1-cost) 答案为3PI*a^2 算出来打死都对不上这答案 求高手指教

Answer 1

t：0→2π
ds=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]
dt=√[a²(1-cost)²+a²sin²t]
dt=a√(2-2cost)dt=a√[4sin²(t/2)]dt=2asin(t/2)dt
∫
y
ds
=∫[0→2π]
2a²(1-cost)sin(t/2)
dt
=4a²∫[0→2π]
sin³(t/2)
dt
=8a²∫[0→2π]
sin³(t/2)
d(t/2)
=-8a²∫[0→2π]
sin²(t/2)
d[cos(t/2)]
=-8a²∫[0→2π]
[1-cos²(t/2)]
d[cos(t/2)]
=-8a²[cos(t/2)
-
(1/3)cos³(t/2)]
|[0→2π]
=-8a²(-1
-
1/3
-
1
-
1/3)
=32a²/3
【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

Answer 2

解：摆线一拱的面积=∫<0,2π>a^2(1-cost)^2dt
=a^2∫<0,2π>[3/2-2cost+cos(2t)/4]dt
=a^2[3t/2-2sint+sin(2t)/4]│<0,2π>
=a^2(3π)
=3πa^2。