Question

高中数学三角函数题在线等!!!!!!

1.函数Y=SINXCOSX / 1+SINX-COSX 的最大值?

2. 在三角形ABC 中, abc分别为ABC对应的边. 且COSB/COSC= - b/2a+c
求角B的大小

3. 已知三角形ABC的面积S=a平方-(b-c)平方,且b+c=8,求三角形ABC面积的最大值.

Answer 1

1.
y = 2sin(x/2) cos (x/2) cosx ( 2sin^2 (x/2) + 2sin (x/2) cos(x/2) )
= cos (x/2) cosx ( cos(x/2) + sin(x/2) )
= cos (x/2) cosx ( cos(x/2) - sin (x/2) ) / ( cos^2 (x/2) -sin^2(x/2) )
= cos (x/2) ( cos x/2 - sin x/2 )
= 1/2 ( 1 + cosx - sin x)
= 1/2 ( 1 + 2^0.5 cos( x + Pi/4) )
<= 1/2 ( 1 + 2^0.5)

等号在 x = 2kPi - Pi/4 时取得， k 为整数

所以 y 的最大值为 1/2 ( 1 + 2^0.5)
2.
因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC)
所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC
就有:
2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC
=2cosBsinA+sin(B+C)
=2cosBsinA+sinA
=(2cosB+1)sinA
=0
在三角形ABC中,sinA>0
所以只有:cosB=-1/2
那么:B=120
3.
S=(1/2)bcsinA
a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以 (1/2)bcsinA=b^2+c^2-2bccosA-b^2-c^2+2bc
(1/2)sinA=2-2cosA
cosA=1(舍去) 或者 cosA=15/17
所以 sinA=8/17

S=(1/2)bcsinA
=(4/17)b(8-b)
=(-4/17)(b^2-8b+16-16)
=(-4/17)(b-4)^2+64/17
当b=c=4时，S有最大值64/17

Answer 2

1.
(解答:换元法)令t=sinx-cosx,则t²=(sinx-cosx)²
=1-2sinxcosx=1-sin2x≤2,(由于sin2x>=-1)
∴-√2≤t≤√2,由于即
∴sinxcosx=(t²-1)/2,
∵y=( sinxcosx) /(sinx-cosx+1)
=(t²-1)/2(t+1)=( t-1)/2, -√2≤t≤√2,
∴-(√2+1)/2≤y≤(√2-1)/2,
又∵t +1≠0,即t≠-1, 即y≠-1,
∴y 的取值范围是-(√2+1)/2≤y<-1,或-1<y≤(√2-1)/2

2.
(1).
因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC)
所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC
就有:
2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC
=2cosBsinA+sin(B+C)
=2cosBsinA+sinA
=(2cosB+1)sinA
=0
在三角形ABC中,sinA>0
所以只有:cosB=-1/2
那么:B=120

3.

S=1/2bcsinA=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2-c^2+2bc
因为a^2=b^2+c^2-2bccosA
所以1/2bcsinA=b^2+c^2-2bccosA-b^2-c^2+2bc=2bc(1-cosA)
sinA=4-4cosA
两边平方且(sinA)^2=1-(cosA)^2
所以1-(cosA)^2=16(cosA)^2-32cosA+16
17(cosA)^2-32cosA+15=0
cosA=1,cosA=15/17
A是三角形内角，所以cosA=1不成立
所以cosA=15/17

A是三角形内角，所以sinA>0
所以sinA=8/17
S=1/2bcsinA
=4/17*bc
b+c=8,c=8-b
所以bc=b(8-b)=-b^2+8b=-(b-4)^2+16
因为b+c=8
所以0<b<8
所以b=4时，
-(b-4)^2+16有最大值16
所以S最大=4/17*16=64/17

Answer 3

1.设sinx-cosx=√2sin(x-pai/4)=t∈[-√2,√2]
t^2-1=2sinxcosx
so sinxcosx=(t^2-1)/2
so
y=(t^2-1)/2(1+t)=(t-1)/2
因为t∈[-√2,√2]
所以当t=√2时
y取最大值（√2-1）/2

2因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC)
所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC
就有:
2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC
=2cosBsinA+sin(B+C)
=2cosBsinA+sinA
=(2cosB+1)sinA
=0
在三角形ABC中,sinA>0
所以只有:cosB=-1/2
那么:B=120

3.S=a^2-(b-c)2=a^2-(a^2+b^2+2ab-4ab)=a^2-(b+c)^2+4bc=a^2+4bc-8^2,
要使S有最大值,则a,bc就必须有最大值,
b+c=8≥2√bc,当且仅当b=c时,bc有最大值,此时b=c=4.
S=1/2*sinA*bc=8sinA,
要使S最大,sinA=1,
A=90度,
S最大=8.
cosA=cos90=0.

Answer 4

1.首先 进行计算

y = 2sin(x/2) cos (x/2) cosx ( 2sin^2 (x/2) + 2sin (x/2) cos(x/2) )
= cos (x/2) cosx ( cos(x/2) + sin(x/2) )
= cos (x/2) cosx ( cos(x/2) - sin (x/2) ) / ( cos^2 (x/2) -sin^2(x/2) )
= cos (x/2) ( cos x/2 - sin x/2 )
= 1/2 ( 1 + cosx - sin x)
= 1/2 ( 1 + 2^0.5 cos( x + Pi/4) )
<= 1/2 ( 1 + 2^0.5)

等号在 x = 2kPi - Pi/4 时取得， k 为整数

所以 y 的最大值为 1/2 ( 1 + 2^0.5)

2.
因为:cosB/cosC=-b/2a+c=-sinB/(2sinA+sinC)
所以:2cosBsinA+cosBsinC=-sinBcosC
就有:
2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC
=2cosBsinA+sin(B+C)
=2cosBsinA+sinA
=(2cosB+1)sinA
=0
在三角形ABC中,sinA>0
所以只有:cosB=-1/2
那么角B=120度

3.解:S=a^-(b-c)^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
=-2bccosA+2bc
=2bc(1-cosA)
而面积公式还有S=(1/2)bcsinA
故sinA=4(1-cosA),解得cosA=15/17,1(舍去)
所以S=2bc(1-15/17)
=4bc/17
≤4[(b+c)/2]^2/17
=4(8/2)^2/17
=64/17
“=”当且仅当b=c=4时取得.