Question

一道初二的几何题！

已知：如图，点E在正方形ABCD的对角线上，CF垂直BE交BD于G，F是垂足。求证：四边形ABGE是等腰梯形

Answer 1

∠ABE+∠EBC=90,∠BCF+∠CBF=90
所以,∠ABE=∠BCG
∠BAE=∠CBG
AB=BA
所以,△BAE≌△CBG
所以,AE=BG

而∠BAE=∠ABG
容易证明,G,E到AB的距离相等
所以,GE//AB

所以,ABGE是等腰梯形

Answer 2

先证明:三角形BOE≌三角形COG
OE=OG 角OEG=角OGE=45
因为 角ABE+角OBE=角OBE+角BEG=45
所以 角AEB=角BEG
所以 EG平行AB
因为 AE不平行BG
所以 四边形ABGE是梯形
因为 AO=BO
所以 AO-OE=BO-OG
所以 AE=BG
所以 四边形ABGE是等腰梯形

Answer 3

（1）四边形ADEF是个平行四边形
在△ABC和△DBE中，BC＝BE，BA＝BD，二者的夹角∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），所以△ABC全等于△DBE，可得出：DE＝AC
在△ABC和△FEC中，BC＝EC，CA＝CF，二者的夹角∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），所以△ABC全等于△FEC，可得出：FE＝AB
DE＝AC＝AF，FE＝AB＝AD
即四边形ADEF的对边都相等，所以四边形ADEF是个平行四边形
（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB＝AC时，由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形
（3）当△ABC为等边三角形时，即AB＝AC＝BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

Answer 4

垂直
因为abc和acd是等边三角形
所以abcd四条线段都相等
和可以证明他们对边平行
所以abcd是菱形
所以对角线垂直

Answer 5

因为△ABC和△ADC都是等边三角形
所以AB=BC=CD=AD=AC
所以四边形ABCD是菱形
所以BD与AC垂直
（也可以通过证明三角形全等得）