Question

若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则常数k的取值范围是多少? (详细过程)

Answer 1

lg(kx)=2lg(x+1)
kx=(x+1)^2
x^2+2x-kx+1=0
只有一个实数解
判别式=0
(2-k)^2-4=0
4-4k+k^2-4=0
k^2-4k=0
k=4 or k=0(舍)

k=4

Answer 2

lg(kx)=2lg(x+1)
lg(kx)=lg(x+1)^2
kx=(x+1)^2
x^2+2x-kx+1=0
只有一个实根，Δ=0
(2-k)^2-4=0
4-4k+k^2-4=0
k^2-4k=0
k=4 or k=0(舍)
这里解出的k是直线y=kx与抛物线y=(x+1)^2恰好相切的特例。
因此,根据数形结合的思想，画出对应的图像，不难发现：当y=kx逆时针旋转到接近x=0时，kx=(x+1)^2只有一个实数解仍然成立，因此k>=4