Question

三道线性代数题

1.求证：偶数阶反对称方阵的行列式的所有元的代数余子式之和等于零。
2.如图：
3.设n>=2,是否存在一个方阵A属于Fn*n,使Fn*n中的所有的方针都可以写成A的多项式的形式a0I+a1A+a2A^2+……+amA^m（m为任意正整数，a0,a1,……,am属于F）？有的话求出一个这样的A；没有的话，说明理由。

Answer 1

1.对于除对角线元素的子式，为奇数阶反对称矩阵，行列式为零。对于非对角线元素的子式Aij，必能找到另半边的对称子式为-Aij'，行列式差-1的基数倍，所以和为0；
2.为范德蒙行列式，由于ai,aj两两不同，又同为正整数，所以假设a[i]按从小到大顺序排列，则必有，a[i+1]>=a[i]+1;所以a[n]-a[m]>=n-m;由此得证。
3.没有，若有，责说明任意两个n阶方阵乘积可交换，这是不可能的，很容易举出乘积不可交换的矩阵的反例。

Answer 2

这需要刚学完线代的同学来做了