Question

高中数学题...比较大小

其实是很简单的，但是就是一时想不出

已知a,b为正实数，比较 a的a方乘以b的b方 与（ab）^二分之（a+b） 的大小

抱歉，这题实在是不好打

Answer 1

a^a*b^b (ab)^(a+b)/2
a b>0 所以比较的两个数均大于0
作商法
（a^a*b^b）/[(ab)^(a+b)/2]=(a^a/[a^(a+b)/2])*(b^b/[b^(a+b)/2])=a^[(a-b)/2]*b^[(b-a)/2]=(a/b)^[(a-b)/2]
若a>b a/b>1 (a-b)/2>0 所以（a/b)^[(a-b)/2]>1
若a<b a/b<1 (a-b)/2<0 所以（a/b)^[(a-b)/2]>1
所以a不等于b是a^a*b^b > (ab)^(a+b)/2
a=b是取等号

Answer 2

取对数然后作差也是可以的
lg(a^a*b^b)-lg((ab)^(a+b)/2)
=alga+blgb-(a+b)/2*(lga+lgb)
=(a-b)/2*lg(a/b)
由于（a-b）与lg(a/b)同号
所以a=b时两式相等
a≠b时 前者大