Question

一道数学题，费了我好长时间都没算出来，请高手指点，谢谢了

若abc三个正数成等差数列,公差不为0,正整数n≥2,求证:a^n+c^n≥2(b^n)
要用数学归纳法证明，是数学书选修4-5上的练习题，谢谢了

Answer 1

证明：设等差数列的公差为d。则 c=a+2d,b=a+d
（1）当n=2时，a^2+c^2=(b-d)^2+(b+d)^2=2b^2+2d^2
∵d≠0，∴2d^2＞0
∴2b^2+2d^2＞2（b^2）
即a^2+c^2＞2（b^2）
∴ n=2时，不等式成立。
（2）假设当n=k（k＞2，k为正整数）时，a^k+c^k≥2(b^k)成立，那么当n=k+1时，a^（k+1）+c^（k+1）
=a×(a^k)+c×(c^k)
=(b-d)(a^k)+(b+d)(c^k)
=b(a^k+c^k)+d(c^k-a^k)
①当d＞0时， c＞a，∵abc三个为正数，∴c^k-a^k＞0
∴d(c^k-a^k)＞0；
②当d＜0时，c＜a，∵abc三个为正数，∴c^k-a^k＜0
∴d(c^k-a^k)＞0；
∴无论d为何值，d(c^k-a^k)＞0总成立，
∴b(a^k+c^k)+d(c^k-a^k)＞b(a^k+c^k) 总成立，
即a^（k+1）+c^（k+1）＞b(a^k+c^k) 总成立。
∴当n=k+1时，不等式也成立，
（3）综上所述，对于任意正整数n≥2，a^n+c^n≥2(b^n)总成立。

Answer 2

数学归纳法

Answer 3

n=k时用二项展开试试

Answer 4

设等差数列的公差为d。则 c=a+2d,b=a+d
（1）当n=2时，a^2+c^2=(b-d)^2+(b+d)^2=2b^2+2d^2
∵d≠0，∴2d^2＞0
∴2b^2+2d^2＞2（b^2）
即a^2+c^2＞2（b^2）
∴ n=2时，不等式成立。
（2）假设当n=k（k＞2，k为正整数）时，a^k+c^k≥2(b^k)成立，那么当n=k+1时，a^（k+1）+c^（k+1）
=a×(a^k)+c×(c^k)
=(b-d)(a^k)+(b+d)(c^k)
=b(a^k+c^k)+d(c^k-a^k)
①当d＞0时， c＞a，∵abc三个为正数，∴c^k-a^k＞0
∴d(c^k-a^k)＞0；
②当d＜0时，c＜a，∵abc三个为正数，∴c^k-a^k＜0
∴d(c^k-a^k)＞0；
∴无论d为何值，d(c^k-a^k)＞0总成立，
即a^（k+1）+c^（k+1）＞b(a^k+c^k) 总成立。
∴当n=k+1时，不等式也成立，
（3）综上所述，对于任意正整数n≥2，a^n+c^n≥2(b^n)总成立。
完全正确。