Question

设不等式2x-1>m(x^2-1)对一切满足|m|<=2的值均成立，则x的取值范围是_____请写过程

设不等式2x-1>m(x^2-1)对一切满足|m|<=2的值均成立，则x的取值范围是_____请写过程
提示：此题选自解析几何章节的练习，可能是有这方面的知识解题。

Answer 1

一般来说就是要分离变量
1)当(x^2-1)>0时即m<(2x-1)/(x^2-1)对于|m|<=2恒成立,
那么(2x-1)/(x^2-1)>2解得(1/2)(1-根号3)<x<(1/2)(1+根号3)又因为(x^2-1)>0所以1<x<(1/2)(1+根号3)
2)(x^2-1)=0时,x=1符合题目
3)(x^2-1)<0时即m>(2x-1)/(x^2-1)对于|m|<=2恒成立
那么(2x-1)/(x^2-1)<-2解得(1/2)(-1-根号7)<x<(1/2)(-1+根号7)又因为(x^2-1)<0所以-1<x<(1/2)(-1+根号7)
综合-1<x<(1/2)(-1+根号7)或者x=1或者1<x<(1/2)(1+根号3)

Answer 2

2x-1>m(x2-1)即：(x^2 - 1)*m - (2x - 1) < 0

构造关于m的函数f(m) = (x^2 - 1)*m - (2x - 1)

1）当x^2 - 1 > 0时, 则f(2) < 0
从而 2x^2 - 2x - 1 < 0

解得： (1 - √3) / 2 < x < (1 + √3) / 2

又x^2 - 1 > 0,即x < -1 或 x > 1, 所以 1 < x < (1 + √3) / 2；

2）当x^2 - 1 < 0时, 则f(-2) < 0 => -2x^2 - 2x + 3 < 0
从而 2x^2 + 2x - 3 > 0

解得 x < (-1 - √7) /2 或x > (√7 - 1) / 2

又-1 < x < 1, 从而(√7 - 1) / 2 < x < 1

3）当x^2 - 1 = 0时, 则f(m) = 1 - 2x < 0 从而x > 1/2,故x = 1；

综上有：(√7 - 1)/2 < x < (1 + √3) / 2