Question

高考数列极值问题

已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。

若f(x)在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域？

答案：定义域（2，∞）值域为（-∞，8）

此题如何求解？

Answer 1

f(x)导函数=3x^2+2bx+c 关于直线x=2对称则-2b/6=2 b=-6 则f(x)导函数=3x^2-12x+c （1）讨论若144-12c小于等于0 则f(x)导函数恒大于0 则f(x)在定义域内恒为增函数 则不存在极小值 （2）若144-12c大于0 则(x)导函数的解为X>2+[（36-3c)^0.5]/3 X<2-[（36-3c)^0.5]/3 由此知道（-∞，2-[（36-3c)^0.5]/3）函数单调递增 （2-[（36-3c)^0.5]/3，2+[（36-3c)^0.5]/3）函数单调递减 （2+[（36-3c)^0.5]/3，∞）函数单调递增 所以g(t)在t=2+[（36-3c)^0.5]/3取得极小值 由上144-12c大于0得C<12 所以[（36-3c)^0.5]/3>0 所以2+[（36-3c)^0.5]/3>2 所以g(t)为定义域（2，∞） g(t)=t^3-6t^2+ct 将t=2代入g(t)得2c-16 因为C<12 所以2c-16<8 所以g(t)的值域为（-∞，8）

Answer 2

一道简单传统的题目，用有关函数导数公式就可以，可以我好几年没做过了，公式完全忘掉了。不好意思 呵呵