Question

有关高一函数奇偶性的题目

1、设f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0小于x小于等于1时,f(x)=x,求f(7.5)的值

2、设f(x)是连续的偶函数,且当x大于0时,f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(x+3/x+4)的所有x之和为
A -3 B 3 C-8 D 8

请给出解题过程,并指出其中的关键难点.
为什么周期性我没学过啊!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

1.由题意：f(x+2 +2)=-f(x+2)
即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以函数的周期为4
故 f(7.5)=f(7.5-4）=f（3.5）=f(3.5-4)=f(-0.5)
因为是奇函数
所以f(-0.5)=-f(0.5)
又当0小于x小于等于1时,f(x)=x
故f(0.5)=0.5
所以f(7.5)=-f(0.5)=-0.5
本题关键是根据条件得出周期为4，再根据周期性和奇函数的性质求解。

2.既然是偶函数，那么图像关于y轴对称，当x大于0时,f(x)是单调函数,根据对称性知：x<0时也是单调的且单调性和x>0时相反。那么要f(x)=f(x+3/x+4)，只有x=(x+3)/(x+4)或-x=(x+3)/(x+4)
对于前者：x^2+3x-3=0
两根之和为-3
对于后者：x^2+5x+3=0
两根之和为：-5
所以所有根的和为：-3+(-5)=-8,选C
这道题目同样是利用构函数的性质：f(x)=f(-x)

Answer 2

因为f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数
所以f(7.5)=f(3.5)=f(-0.5)
因为f(x)是(-∞,+∞）上的奇函数，所以f(-0.5)=-f(0.5)
因为当0≤x≤1时，f(x)=x，所以f(0.5)=0.5
综上f(7.5)=f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

2.

f(x)是连续的偶函数，且当x>0时，f(x)是单调函数
所以当x<0,f(x)也是单调函数，即Y轴左右两边相等的值是唯一
例如f(a)=a,那只有f(-a)=f(a)=a
要使得
f(x)=f((x+3)/(x+4))
又f(x)=f(-x)
所以可得两个方程
x=(x+3)/(x+4)，即x^2+3x-3=0
-x=(x+3)/(x+4),即x^2+5x+3=0
根据韦达定理即根与系数的关系可知
X1+X2=-3，X3+X4=-5
所以满足f(x)=f(x+3/x+4)所有x和为(-3)+(-5)= -8

Answer 3

第一个关键点是由已知条件“f(x+2)=-f(x)”求周期。
因为f(x+2)=-f(x)，
所以f(x+4)= f[(x+2)+2]= -f(x+2)
将f(x+2)= -f(x)再代入上式得
f(x+4)= -[-f(x)]= f(x)
f(x)是以4为周期的周期函数
所以f(7.5)= f(7.5-4)=f(3.5)= f(3.5-4)=f(-0.5)

第二个关键点是利用已知条件“奇函数”及“当0<x≤1时，f(x)=x”求出f(x)在其他条件下的表达式或值。
因为f(x)是(-∞,+∞）上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)
所以f(-0.5)= -f(0.5)
因为当0≤x≤1时，f(x)=x，所以f(0.5)=0.5
综上所述f(7.5)= -0.5

2.
f(x)是连续的偶函数，且当x>0时，f(x)是单调函数
所以当x<0,f(x)也是单调函数，函数图像关于Y轴对称。
由已知条件：f(x)=f(x+3/x+4)可知
括号内的两个式子（两个横坐标），要么相等，要么等距居于对称轴两侧（也就是横坐标的中点在对称轴上）。（…………关键…………）
从而x=(x+3)/(x+4)或[x+(x+3)/(x+4)]/2=0化简得两个方程：
x^2+3x-3=0和x^2+5x+3=0
根据韦达定理可知
X1+X2=-3，X3+X4=-5
所以满足f(x)=f(x+3/x+4)所有x和为
X1+X2+X3+X4= (-3)+(-5)= -8

Answer 4

1. -0.5 关键是找到奇函数的周期，然后画出图像就一目了然了。这个函数的周期是4，然后在 0小于x小于等于1时是正比例函数，根据奇函数对称性，画出图像。由于周期为4，f（7.5）=f（7.5-4-4）=f（-0.5）=-f（0.5）
所以答案是-0.5

2.连续的偶函数，说明关于y轴对称，大于0时是单调函数那么小于0时也是单调函数。 f(x)=f(x+3/x+4) 这个式子的意思是当取x和取 (x+3/x+4)时函数值相等，根据对称性，值要想相等自变量就得是关于对称轴对称的啊，由于f（x）=f（-x),可以得到两个式子
x= x+3/x+4 ——1
-x= x+3/x+4 ——2
得到 x^2+3x-3=0和 x^2+5x+3=0
应用韦达定理，得到所有的x值之和为 （-3）+（-5）=-8 选 C

Answer 5

1、因为f(x+2)=f(x)所以f(7.5)=f(5.5)=f(3.5)=f(1.5)=f(-0.5)
因为奇函数f(-x)=-f(x)所以f(-0.5)=-f(0.5)而f(0.5)=0.5,所以f(-0.5)=-0.5
2、题目没有问题？我怎么算不出选项？