Question

一道初中数学题。（几何证明题）

如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论。

Answer 1

当D为BC的中点时结论成立
因为三角形ABC是等边三角形，所以AC=BC,角B=角ACB,又CD=BF
所以三角形ACD全等三角形CBF
所以AD=CF
因为三角形ADE为等边三角形
所以ED=CF
因为D为中点，所以AD垂直BC,AD是角ABC角平分线，
同理得知CF是角ACB角平分线
由角ADE=60度，所以角BDE=30度，又角FCB=30度
所以ED平行FC
所以四边形EDCF为平行四边形

Answer 2

在BC的中点时
可以从结论出发
若CDEF是平行四边形，且∠DEF=30，
所以∠FCE=30
因为ED平行于FC
所以∠EDB=30
因为等边△ADE
所以∠ADE=60
所以∠ADB=90
等腰三角形三线合一
所以点D应在BC的中点上

Answer 3

设AM为三角形中线,延长AM至点P,使MP=AM,连结BP、CP、DP、EP
∴AB+AC=AB+BP
AD+AE=AD+DP
只须证明△ABP中,AB+BP>AD+DP
我想这步证明你们可能学过

Answer 4

解:①仍为真命题，理由如下:
连接CD，D为Rt△ABC斜边中点，AC=BC，则
CD=BD，∠ECD=∠B=45°
由∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∠CDB=∠CDF+∠FDB=90°，得
∠EDC=∠FDB
∴
△CDE≌△BDF(ASA)
故
CE=BF
②等腰直角三角形(△CDE≌△BDF,得
DE=DF)
③证明:由△CDE≌△BDF，得
S△CDE=S△BDF
S1+S2=S(四边形CEDF)
则
S1+S2=S△CDF+S△BDF=S△BCD=(CD*AB/2)/2=S3/2
④不成立(由△CDE≌△BDF，得
S△CDE=S△BDF
S1+S2＞S△BCD=S3/2)

Answer 5

从E做垂线，交AB于M点
设BC长为a
根据题目中的60度、30度、90度，可以计算出
AD=EM=根号3*a
又角AFD=角EFM
角EMF=角DAF=90度
所以三角形ADF与三角形EMF相等
所以EF=FD

Answer 6

考虑了一下，还是无从下手，总感觉条件不足，是不是题有问题？题目要是没有问题的话，那就是我个人水平问题了，呵呵。