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微积分证明(x² -1)lnx≥(x-1)²
用以下两种方式分别证明1令f(x)=lnx-(x-1)/x+12令f(x)=(x+1)lnx-(x-1)接下来怎么做??要过程!!...
用以下两种方式分别证明 1 令 f(x)=lnx - (x-1)/x+1 2 令f(x)=(x+1)lnx-(x-1) 接下来怎么做??要过程!!
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3个回答
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求导啊,算出来f(x)的增减性,然后再分x>1,x=1,0<x<1三种情况讨论一下。
第一种设法更简单,求导之后是(x^2+1)/(x*(x+1)^2)>0,所以单增,又f(1)=0,所以x>1,f(x)>0,(x² -1)lnx≥(x-1)²成立;
x=1,等号成立;
0<x<1,f(x)<0,但x-1<0,所以f(x)(x-1)>0,(x² -1)lnx≥(x-1)²成立;
综述,成立。
第二种求导后是1/x+lnx,然后再求一次导可以发现该式是大于0的,原函数也是递增的,然后再像上面一样讨论就可以了。
第一种设法更简单,求导之后是(x^2+1)/(x*(x+1)^2)>0,所以单增,又f(1)=0,所以x>1,f(x)>0,(x² -1)lnx≥(x-1)²成立;
x=1,等号成立;
0<x<1,f(x)<0,但x-1<0,所以f(x)(x-1)>0,(x² -1)lnx≥(x-1)²成立;
综述,成立。
第二种求导后是1/x+lnx,然后再求一次导可以发现该式是大于0的,原函数也是递增的,然后再像上面一样讨论就可以了。
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