AB是圆O的直径,AE为弦,C为弧AE的中点,CD垂直AB于D,交AE于F,BC交AE于G,求证:AF=FG
3个回答
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本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中,前者通过两次三角形全等来证明,
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明:
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA,∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
其中,前者通过两次三角形全等来证明,
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明:
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA,∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
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本题关键在于证明AF=CF和CF=FG
其中,前者通过两次三角形全等来证明,
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明:
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA,∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
证明:
连接AC
因为C是弧AE的中点
所以弧AC=弧EC
所以∠CAE=∠ABC
因为直径AB垂直平分弦CN
所以弧AC=弧AN
所以∠ACN=∠ABC
所以∠ACN=∠CAE
所以AG=CG
因为AB是直径
所以∠ACB=90,即∠ACN+∠BCN=90
因为∠AGC+∠CAE=90
所以∠BCN=∠AGC
所以FG=CG
所以AF=FG
其中,前者通过两次三角形全等来证明,
后者通过证明△FCG为等腰三角形来证明:
连接OC交AE于H
则OC⊥AE
∵OC=OA,∠AOH=∠COD
∴Rt△AHO≌Rt△CDO
∴AH=CD
OD=OH
又OF为△ODF和△OHF的公共边
∴Rt△ODF≌Rt△OHF
则FD=FH
得AH-FH=CD-FD
即AF=CF
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∠CGF=∠GBA+∠GAB=∠OCB+∠OCD=∠BCD
△FCG为等腰三角形
CF=FG
∴AF=FG
证明:
连接AC
因为C是弧AE的中点
所以弧AC=弧EC
所以∠CAE=∠ABC
因为直径AB垂直平分弦CN
所以弧AC=弧AN
所以∠ACN=∠ABC
所以∠ACN=∠CAE
所以AG=CG
因为AB是直径
所以∠ACB=90,即∠ACN+∠BCN=90
因为∠AGC+∠CAE=90
所以∠BCN=∠AGC
所以FG=CG
所以AF=FG
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