Question

行列式乘法定理的证明

这不是定义，应该可以推导出来，我用二阶矩阵演算过，但是还是没有悟出合理的推导方法，一般的情况可以通过向量解释，但是这个公式，这种方法也无法推导，恳请大师级不吝赐教，多谢多谢！

Answer 1

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩
（r(AB)<=min(r(A),r(B))
那么|AB|=|A| |B|=0.

2、A、B均满秩
A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1
B=g1g2…gs*E*ht…h2h1
pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵
|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1| |g1g2…gs*E*ht…h2h1|
=|P1P2…Pn| |E| |qm…q2q1| |g1g2…gs| |E| |ht…h2h1|
=|A| |E| |E| |B|
=|A| |B|
其中只需证明|Ar|=|A| |r|（或|rA|）其中r为初等矩阵
这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。

Answer 2

你可以建立 XOY平面直角坐标系 将以个长方形放进去 然后描出各个点的坐标 利用面积相等就OK了

Answer 3

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩
（r(AB)<=min(r(A),r(B))
那么|AB|=|A|
|B|=0.
2、A、B均满秩
A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1
B=g1g2…gs*E*ht…h2h1
pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵
|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1|
|g1g2…gs*E*ht…h2h1|
=|P1P2…Pn|
|E|
|qm…q2q1|
|g1g2…gs|
|E|
|ht…h2h1|
=|A|
|E|
|E|
|B|
=|A|
|B|
其中只需证明|Ar|=|A|
|r|（或|rA|）其中r为初等矩阵
这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。

Answer 4

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩
（r(AB)<=min(r(A),r(B))
那么|AB|=|A|
|B|=0.
2、A、B均满秩
A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1
B=g1g2…gs*E*ht…h2h1
pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵
|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1|
|g1g2…gs*E*ht…h2h1|
=|P1P2…Pn|
|E|
|qm…q2q1|
|g1g2…gs|
|E|
|ht…h2h1|
=|A|
|E|
|E|
|B|
=|A|
|B|
其中只需证明|Ar|=|A|
|r|（或|rA|）其中r为初等矩阵
这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。

Answer 5

那是定义