Question

f(x)=x3+x,证明这个函数的单调性

Answer 1

f(x) = x^3 + x
显然有：f(0) = 0、f(-x) = -f(x)，为奇函数

取小量 d > 0，考察函数增量变化趋势——

f(x + d) - f(x)
= [(x + d)^3 - x^3] + [(x + d) - x]
= 3x^2*d + 3x*d^2 + d^3 + d
= d*(3x^2 + 3d*x + d^2 + 1)
= 3d*[ x^2 + d*x + (d^2 + 1)/3 ]
考察上式两个因子有：
3d > 0
x^2 + d*x + (d^2 + 1)/3
= (x + d/2)^2 - (d^2)/4 + (d^2 + 1)/3
= (x + d/2)^2 + [(d^2)/12 + 1/3]
> 0
所以 f(x + d) - f(x) > 0 即函数在整个实数区间，单调增加

Answer 2

解：设x1>x2.
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)+(x1-x2)
x1-x2>0
x1^2+x1*x2+x2^2=(x1+x2/2)^2+(3/4)*(x2^2)>0
所以函数单增。

高三用导数f(x)的导数为3x^2>0，所以单增

Answer 3

在(-∞,+∞)任意取A,B.且A<B

则有F(A)-F(B)=A^3+A-B^3-B
=(A-B)(A^2+AB+B^2)+A-B
=(A-B)[(A+B/2)^2+(3B^2)/4]+(A-B)
∵A<B.∴A-B<0 ∴F(A)-F(B)<0.
∴F(x)是增函数

Answer 4

直接求导数呀，f(x)=x3+x

f’(x)=3x^2+1

因为3x的2次为正，所以f’(x)>0，所以f(x)单调递增

Answer 5

在(-∞,+∞)任意取A,B.且A<B
f(a)-f(b)=3a+a-3b-b
=3(a-b)+(a-b)
=4(a-b)
因为a<b 所以a-b<0 所以f(a)<f(b)
所以f(x)=x3+x 为增函数