Question

抽象函数的奇偶性

y=f(x)是偶函数,y=g(x)=f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?

过程；

因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么？}；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么？}；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)

不懂的地方；

奇函数f(-x-1)=-f(x-1)为什么不是f(-x-1)=-f(x+1),不是把它提出的吗？如f[-(x+1)]=-f(x+1) 而偶函数为什么就是把它提出的f(-x-1)=f(x+1)? 难道偶函数与奇函数的做发不一样？

Answer 1

y=g(x)是奇函数，所以g(x)=-g(-x)
而g(x)=f(x-1);-g(-x)=-f(-x-1)，所以是f(x-1)=-f(-x-1)
如果是把它提出的话，就变成把x+1看成t,成了f(-t)=-f(t)所以f(x)是奇函数了，而不是要求的f(x-1)是奇函数了~

Answer 2

奇函数的意思是(-x,y)和(x,-y)都在函数上。所以就是y=f(-x-1),和-y=f(x-1).就是f(-x-1)=-f(x-1).
对于题目中的偶函数. -x-1的对称点是 -(-x-1)=x+1。他们都在图像上可得。。
所以其实二者是一样的。关键是要理解清楚了。

Answer 3

f(x-1)中，取-x即把-x代入x-1，得f(-x-1)。自变量肯定是x，f(x-1)、f(-x-1)，f的括号中，是x的函数式的，自变量统统都是x，无一例外。

Answer 4

函数f(x),x属于R若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数
证明:取a=b=0,得
f(0)=f(0)+f(0)
所以
f(0)=0,
(1)
取a=x,b=-x,得
f(0)=f(x)+f(-x),
(2)
由(1),(2)得
0=f(x)+f(-x),
即
f(-x)=-f(x),
因此,f(x)为奇函数.