Question

一道积分高数题，求教！

满意补分。f(x)在[0,1]连续可导，f(0)=0,f(1)=0,求证如图
rutu

Answer 1

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对任意给定的正数a和b,在(0,1)内存在不相等的实数ξ,η,使得a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b

因为f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0,f(1)=1，对任正数a、b，有
a/(a+b)∈(0,1)，由介值定理，存在c∈(0,1)，使f(c)=a/(a+b)；
对函数f(x)分别在[0,c]与[c,1]上应用拉格朗日中值定理，有
f'(ξ)=[a/(a+b)]/c与f'(η)=[1-a/(a+b)]/(1-c)=[b/(a+b)]/(1-c)
(0<ξ<c<η<1)
∴a/f'(ξ)+b/f'(η)=c(a+b)+(1-c)(a+b)=a+b