Question

已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)^2+1/4(x+y)>=x√y+y√x

已知x,y都大于等于零，求证1/2（x+y)²+1/4(x+y)>=x√y+y√x

Answer 1

欲证原不等式成立,即证(x+y)(x+y+1/2)>=2x√y+2y√x
即 (x+y)(x+y+1/2)>=2√(xy)*(√x+√y).
由于x+y>=2√(xy),且2√(xy)>=0,故只需证 x+y+1/2>=√x+√y成立即可.

令√x=m,√y=n,则证m²+n²+1/2>=m+n,其实仔细观察就可看出此式是成立的.
因为 m²+n²-m-n+1/2=(m-1/2)²+(n-1/2)²>=0,所以m²+n²+1/2>=m+n成立.
故原不等式成立.

Answer 2

只有(1),(3).
因为反比例函数在(-∞,0)和(+∞，0)上分别为减函数,而不是在整个定义域上为减函数，所以必须给定x>0或x<0才行，我举个例子，y=1/x,x=-1时:y=-1,x=2时y=1/2,
显然1/2>-1,而不是y随x的增大而减小，但如果给定了x>0,则一定会有y随x增大而减小。