Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a²=b(b+c)

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a的平方;=b(b+c）（1）求证A=2B（2）若a=根号3b，判断△ABC的形状

Answer 1

（1）

余弦定理：

cosB=(a*a+c*c-b*b)/(2ac)=(代入条件)=(b+c)/(2a)

即，

2a*cosB=b+c

正弦定理，上式可变为

2sinAcosB=sinB+sinC

三角形中，
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

带入前式得

sinB=sin(A-B)

根据三角形的限制，只有

B=A-B

所以，A=2B

（2）

正弦定理，sinA=根号3*sinB
结合A=2B
得，
cosB=(根号3)/2
所以 B=30度， A=60度， C=90度

直角三角形

Answer 2

（1）证明：
a^2=b^2+bc
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
bc=c^2-2bc cosA
b=c-2b cosA
b=1,c=2
cosA=1/2
所以A=60°,B=30°,C=90°
A=2B

Answer 3

1)
a^2=b(b+c),
a^2=b^2+bc,
而,a=2R*sinA,b=2R*sinB,c=2R*sinC,
sin^2A=sin^2B+sinB*sinC,
sin^2A-sin^2B=sinB*sinC,
(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinB*sinC,
2*sin(A+B)/2*cos(A-B)/2*2*cos(A+B)/2*sin(A-B)/2=sinB*sinC,
sin(A+B)*sin(A-B)=sinB*sinC,
而,A+B+C=180,A+B=180-C,
sin(A+B)=sinC,
即有,sin(A-B)=sinB,
A-B=B,
A=2B,得证.
2)
∵a=√3b
sinA
=√3sinB
=sin2B
=2sinBcosB
cosB=√3/2
B=30°
A=2B=60°
C=180°-30°-60°=90°
三角形ABC是直角三角形。