Question

柯西不等式一道题，求高人解答

a+b+c=1,是否存在实数K，abc都是正实数，使√4a+1 +√4B+1 +√4c+1小于k恒成立？如存在，求K的范围

Answer 1

√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)显然大于0
平方
=4a+1+4b+1+4c+1+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)
=4(a+b+c)+3+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)
=7+2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)

因为2xy<=x^2+y^2
所以2√(4a+1)*√(4b+1)<=4a+1+4b+1
2√(4a+1)*√(4c+1)<=4a+1+4c+1
2√(4b+1)*√(4c+1)<=4b+1+4c+1
所以2√(4a+1)*√(4b+1)+2√(4a+1)*√(4c+1)+2√(4b+1)*√(4c+1)<=8(a+b+c)+6=8+6=14
所以
[√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)]^2<=7+14=21
所以√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)<=√21
所以存在，只要k>√21即可