Question

sinx+siny=二分之根号二求cosx+cosy范围

这个问题我看了答案[-√14/2,√14/2] 都是设cosx+cosy=t
然后平方相加 得cos(x-y)∈[-1,1]
问题就在这！！！！！！
为什么cos(x-y)可以取到[-1,1] 明明有限制条件sinx+siny=二分之根号二啊
？？？？？？？？？？？？、高手给解释一下
我看了很多答案或类似的题都是这样解得 一直不明白
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
拜托看清问题好不好！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

楼主的质疑是正确的

cos(x-y)∈[-1,1]这个论断是错误的，原因正是sinx+siny的限制！但这题最后的答案不变，原因分析和解答请看附件图片(点击可放大，如看不到说明正在审核)

Answer 2

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny
sinx+siny=√2/2
若cos(x-y)=-1，则x-y=pi+2k*pi,k为整数
此时sinx=sin(y+pi+2k*pi)=sin(y+pi)=-siny，
所以sinx+siny=0，不满足sinx+siny=√2/2
显然cos(x-y)∈[-1,1]是错误的，最起码cos(x-y)取不到-1
令cos(x-y)=cos(pi-z)=-cosz
则z越趋近于0时，cosz越趋近于1，于是cos(x-y)越趋近于-1
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]=√2/2
得sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]=√2/4
取x-y=pi-z,即x=y+pi-z,
有sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
=sin[y+(pi-z)/2]cos[(pi-z)/2]
=sin[y+(pi-z)/2]sin(z/2)=√2/4
现考虑大于0且接近于0的z，有sin(z/2)>0
由-1=<sin[y+(pi-z)/2]<=1知，0<(√2/4)/sin(z/2)<=1
sin(z/2)>=√2/4
故满足此条件的z，可使cos(x-y)取得最小值
最小值cos(x-y)=-cosz=2sin(z/2)^2-1=-3/4
令f(x)=cos(x-y)，对f(x)关于x求导知，
x=y时，cos(x-y)可取到最大值1
综上cos(x-y)∈[-3/4,1]

Answer 3

你好
我看了你的问题 我是这样想的
楼上的方法都做了 你也都懂
你问的那个问题我现在帮你解释一下
也就是说sinx+siny=二分之根号二
没有限制住cos(x-y)的取值
为什么这么说呢
你看一下 假如x-y=0
那么就可以取到1了
所以x=y
那么就是x=四分之根号二
同样的 最小值也是可以算出来的
但是问题就是这道题目
用我们现在的知识是没有好的办法
解释的 只能这样模糊的带过
所以你会不清楚
这道题目的方法是没有超纲的
但是再这个地方超纲了
我们老师也没有讲

Answer 4

不能这么说
因为下面这一切的基础上都建立在sinx+siny=二分之根号二上的，都是根据这个延伸出来的，说明这个条件对这个结果起了决定性的作用。
再者，sinx+siny=二分之根号二，sinx可以很大，siny可以很小，两个都在变，而cosx+cosy的值是由sinx和siny在确定的，两个都可能很小也可能很大，cosx+cosy也可能很小也可能很大，都是不确定的。
但是也不能过小啊，题目还有限制说sinx+siny=二分之根号二呢。
于是就有了cos(x-y)∈[-1,1]
懂了吗

Answer 5

解:记cosx+cosy=t
sinx+siny=根号2/2
分别平方再相加得到
2+2cosxcosy+2sinxsiny=t^2+1/2
2cos(x-y)=t^2-1.5
cos(x-y)=(2t^2-3)/4

由上式便可以看出 cos(x-y)>=-3/4
cos(x-y)的取值范围是[-3/4,1]
(2t^2-3)/4<=1
解得t^2≤7/2
所以t能取[-根号14/2，根号14/2]

而且可以检验 上述值是可以取到的 在x=y=arcsin√2/4时
cosx+cosy=√14/2
x=y=π-arcsin√2/4时
cosx+cosy=-√14/2