Question

高中数学题（要详细的解答过程）还有加分

知二次函数f（x)=ax^2+bx+c的顶点坐标是（3/2，-1/4），且f（3）=2
1。求f（x)的表达式，并求f（1），f（2）的值
2。数列{an},{bn},若对任意的实数x都满足g(x)f（x)+anx+bn=x^(n+1),g(x)是定义在实数R上的一个函数，求数列{an},{bn}的通项公式
3。记圆Cn:(x-an)^2+(y-bn)^2=Rn^2,若圆Cn与圆Cn+1外切，{Rn}的各项都是正数的等比数列，记Sn是前n个圆的面积之和，求lim(Sn/Rn^2),n趋近于无穷大

Answer 1

1. 因为是二次函数，关于顶点对称，所以由f(3)=2得f(0)=2，再加上顶点坐标（3/2,-1/4)得方程组：
9a+3b+c=2
(9a/4)+(3b/2)+c=-1/4
c=2
解得a=1,b=-3,c=2
所以f(x)=x^2-3x+2,f(1)=0,f(2)=0

2.因为对于任意实数x都满足，所以将f(1)=0，f(2)=0代入表达式得：
an+bn=1
2an+bn=2^(n+1)
解得an=2^(n+1)-1，bn=-2^(n+1)+2

3.将a0=1,b0=0;a1=3,b1=-2;a2=7,b2=-6分别代入得三个圆：
(x-1)^2+y^2=R0^2
(x-3)^2+(y+2)^2=R1^2
(x-7)^2+(y+6)^2=R2^2
因为Rn的各项都是正数的等比数列，所以R1^2=R0×R2
又因为圆Cn与圆Cn+1外切，所以三个圆的圆心在一条直线上，且满足
(R0+R1)^2=2^2+2^2
(R1+R2)^2=4^2+4^2
解得R0=2√2/3(三分之二根号二）,R1=4√2/3,R2=8√2/3
得Rn=2√2/3*2^n
所以lim(Sn/Rn^2)=lim(∏(2^0+2^2+2^4+……+2^2n)/2^2n)=2∏