Question

高数 极限

下列各式中正确的是（ ）
lim（1- 1/x)^x =e (x->oo)

lim (1+x)^ 1/x =e （x->0）

lim（1+x)^(-1/x) =e （x->0）

lim (1+x)^ 1/x =e (x->oo)

选哪个选项？ 其他几个为什么错，详细解答 谢谢

Answer 1

以下可能不严谨……凑合着看看吧……还算详细……

e的定义式为：lim (1+1/x)^x=e，（x->∞）
而且x趋向于 +∞ 或者是 -∞ 时，函数 (1+1/x)^x 的极限都是e。
判断这几个的方法就是把原式转化成定义式。

1、lim（x->∞）(1-1/x)^x ，令 x = -x ，（从正无穷到负无穷，都写成∞好了）
得到上式等于 lim（x->∞）(1+1/x)^(-x)
= [lim（x->∞）(1+1/x)^x]^(-1)
= 1/e。

2、lim（x->0）(1+x)^(1/x) ，令 x = 1/x ，
得上式等价于：lim（x->∞）(1+1/x)^x = e。

3、lim（x->0）(1+x)^(-1/x) ，方法同上，令 x = 1/x ，
得：lim（x->∞）(1+1/x)^(-x)
= [lim（x->∞）(1+1/x)^x]^(-1)
= 1/e。

4、lim（x->∞）(1+x)^(1/x) ，属于 ∞^0 型的未定式，应用罗必塔法则求解，
设函数 y = (1+x)^(1/x) ，两边取对数得：ln y = (1/x)ln(1+x)，
则：lim (ln y) = lim (ln(1+x))/x （然后使用罗必塔法则）
= lim 1/(1+x) / 1 ，
在（x->∞）时可得此式 = 0 ，
所以：
lim（x->∞）(1+x)^(1/x) = lim（x->∞）y
= lim e^(ln y) （x->∞ 省略不写）
= e^(lim ln y)
= e^0 = 1。

罗必塔法则即求导法则，应该学了吧……没学的话去看看吧……

Answer 2

这个题目正确的是第二个
e的定义式为：lim (1+1/x)^x=e，（x->∞）
而且x趋向于 +∞ 或者是 -∞ 时，函数 (1+1/x)^x 的极限都是e。
判断这几个的方法就是把原式转化成定义式。
lim（1- 1/x)^x =lim[（1- 1/x)^（-x）]^(-1)=e^(-1) x->oo
lim（1+x)^(-1/x) =e^(-1) x->0
1/x In(1+x)=0,x->oo,则：im (1+x)^ 1/x=1

Answer 3

lim（1- 1/x)^x =1/e (x->00)
lim（1+x)^(-1/x) =0 (x->0)
lim (1+x)^ (1/x) =1 (x->oo)

a ,c ,d 错了1和3是错的~~~答案为1/e

第二个是对的

最后一个错

另外说明一下，前三个都是1的无穷次方形式可以用公式

Answer 4

选择2
这是1^00型的重要极限公式
e=lim(x->00)(1+1/x)^x（原始公式）
=lim(x->0)(1+x)^(1/x)
因此1式＝lim{（1- 1/x)^(-x)}^(-1) =e^(-1)=1/e
3式＝lim(x->0){(1+x)^(1/x)}^(-1)=e^(-1)=1/e
4式不是1^00型，当然错误

Answer 5

这个题目正确的是第二个。
第一个可以变化为 lim（1- 1/x)^x =lim 1/[（1+1/t）^t]=1/e
第三个 lim（1+x)^(-1/x) =lim 1/[（1+1/t）^t]=1/e
第四个 lim (1+x)^ 1/x =lim exp[ln(1+x)/x]=lim exp[ln'(1+x)/x']=lim exp[1/(1+x)]=exp[0]=1