Question

高一数学简单题！

数列{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=(1+cos²nπ/2)an+sin²nπ/2
求a3,a4及an

Answer 1

你好，解如下：
由题目得出，A=｛1，2｝，B={X│X²-aX+a-1=0}，C={X│X²-根号bX+2=0，b≥0},
假设存在a、b。
因为B是A的真子集，则B={1}存在a为任意实数,或B={2}，所以存在a=3
由A∪C=A说明C是A的子集。
则C={1}则b=--1，不满足要求
C={2},则b=7，满足
C={1,2}则b，不存在
C为空集则不存在b
综上，存在a=3，b=7

Answer 2

你好，解如下：
由题目得出，A=｛1，2｝，B={X│X²-aX+a-1=0}，C={X│X²-根号bX+2=0，b≥0},
假设存在a、b。
因为B是A的真子集，则B={1}存在a为任意实数,或B={2}，所以存在a=3
由A∪C=A说明C是A的子集。
则C={1}则b=--1，不满足要求
C={2},则b=7，满足
C={1,2}则b，不存在
C为空集则不存在b
综上，存在a=3，b=7

Answer 3

a3 = (1+cos²π/2)a1+sin²π/2 = 2
a4 = (1+cos²2π/2)a2+sin²2π/2 = 4

①当n为奇数(即n=2k-1,k∈Z)时，cos²nπ/2=0 ，sin²nπ/2=1
an = a(n-2)+1 = ... = a1+（k-1） = k = (n+1)/2
②当n为偶数(即n=2k,k∈Z)时，cos²nπ/2=1 ，sin²nπ/2=0
an = 2a(n-2) = 4a(n-4) = ... = 2^(k-1) * a2 = 2^k = 2^(n/2)

Answer 4

当n是奇数
sin²nπ/2=1
cos²nπ/2=0
a(n+2)=(1+cos²nπ/2)an+sin²nπ/2 = an + 1
当n是偶数
sin²nπ/2=0
cos²nπ/2=1
a(n+2)=(1+cos²nπ/2)an+sin²nπ/2 = 2an

所以
当n是奇数
an = a1 + (n-1)*(1/2) = (n+1)/2
当n是偶数
an = a2 * (√2)^(n-2) = (√2)^n

a3 = 2
a4 = 4