Question

求函数f(x,y)=x^3+y^2-6xy-39x+18y+18的极值

求函数f(x,y)=x^3+y^2-6xy-39x+18y+18的极值

Answer 1

解：由条件，令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤r≤4，z=f(x，y)=3r²-r³cos³θ≥3r²-r³=r²(3-r)，z′=6r-3r²=-3r(r-2)，可得z在[0，2]上递增，在[2，4]上递减，易知当r=4时，z最小为-16。即函数f(x,y)=3x²+3y²-x³在区域d：x²+y²≤16上的最小值为-16。

Answer 2

解:对X求偏导,f'x=3x^2-6y-39
令f'x=0,则:3x^2-6y-39=0 (1)
对Y求偏导,f'y=2y-6x+18
令f'y=0，则：2y-6x+18=0 （2）
联立（1）（2）解得：x=5,y=6或x=1,y=-6