Question

2009高考全国卷1理科数学第20题详解

在数列{a<n>}中，a<1>=1，a<n+1>=(1+1/n)*a<n>+(n+1)/2^n
(1)设b<n>=a<n>/n，求数列{b<n>}的通项公式。
(2)求数列{a<n>}的前n项和S<n>。
[“<n>”意为“下标为n”；“2^n”意为“2的n次方”。]

答案：
(1)b<n>=2-1/2^n-1
(2)S<n>=n(n+1)+(2+n)/2^n+1-4

求详细解答，谢谢！

Answer 1

a(n+1)=(1+1/n)*a(n)+(n+1)/2^n
a(n)=(1+1/n-1)*a(n-1)+n/2^(n-1)
代入第一个式子，得n+1/(n-1)a(n-1)+(n+1)[1/2^(n-1)+1/2^n]
然后以此类推：得 a(n+1)=[(n+1)/1]a1+(n+1)[1/2+1/4+.......+1/2^n]
即 a(n+1)=(n+1)a1+(n+1){a1[1-(1/2^n)/(1/2)]}
化简得： an=2n-n*[1/2^(n-1)]
因为: bn=an/n
得： bn=2-[1/2^(n-1)]
因为： an=2n-n*[1/2^(n-1)]
所以求sn 就是求两个通向公式的和,即2n和n*[1/2^(n-1)].
sn1=2n[1+n]/2=n(n+1) ; sn2=[n(n+1)]*(1/2)[1-(1/2)^n]/(1/2)
sn=sn1+sn2=n(n+1)[2-1/2^n]