Question

一道高中三角函数题

（1）已知△ABC的三个内角ABC满足A+C=2B,并且1/cosA+1/cosC=-(√2)/cosB，求cos[(A-C)/2]的值
（2）在△ABC中，sin²A-sin²B+sin²C=sinA·sinC,cosA+cosC=-(2√2)cosA·cosC，求角ABC的值。

Answer 1

(1)
因A+B+C=π,又A+C=2B
得B=π/3
1/cosA+1/cosC=-2√2
=>(cosA+cosC)=-2√2cosAcosC
=>2cos(A-C)/2cos(A+C)/2=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]
=>cos(A-C)/2=-√2[-1/2+cos(A-C)]
=>cos(A-C)/2=-√2[-1/2+2cos²(A-C)/2-1]
=>4cos²(A-C)/2+√2cos(A-C)/2-3=0(|A-C|/2<π/3)
cos(A-C)/2=[-√2+√(2+48)]/8(负根舍去)
=√2/2

(2)
sin²A-sin²B+sin²C=sinA·sinC
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为外接圆半径，不知道也无所谓)
在原式两边同时乘以4R²，
a^2-b^2+c^2=ac
==>b^2=a^2+c^2-ac
由余弦定理
b²=a²+c²-2accosB
得由余弦定理
2accosB=ac
==>cosB=1/2
==>B=60度

前面那道题已经有了过程
=>(cosA+cosC)=-2√2cosAcosC
=>2cos(A-C)/2cos(A+C)/2=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]
=>cos(A-C)/2=-√2[-1/2+cos(A-C)]
=>cos(A-C)/2=-√2[-1/2+2cos²(A-C)/2-1]
=>4cos²(A-C)/2+√2cos(A-C)/2-3=0(|A-C|/2<π/3)
cos(A-C)/2=[-√2+√(2+48)]/8(负根舍去)
=√2/2
故(A-C)/2=45度
A-C=90度

由于已知道B=60度
A+B+C=180
故A=105度
C=15度

Answer 2

楼主啊，这个要写在这上面很麻烦啊。。你留个QQ不好么。。这种题高考考的概率不是很大。练习册上有很多。。我今年高考的学生。。建议你把基础弄的牢牢的，那样二本是一点问题没有啊~~╮(╯▽╰)╭