Question

∫∫e^(x+y)dxdy,积分区域：|x|+|y|≤1

我想求出第一象限中的积分区域中的二重积分再乘以4，得出结果，可以不？有点不明白，是不是只要积分区域相对座标系对称就可以只求其中一个象限中的二重积分再乘以对称区域数，就可以得到所求的二重积分，还是要有其他条件才能使用对称性这一条件？，请给出改题的详细过程。

Answer 1

只要求“积分区域相对座标系对称”是不行的！
这是因为被积分函数在每一个象限内的函数值不一样。为什么计算“积分区域相对座标系对称”面积或体积是可以这样？这就是因为它的被积分函数在每一个象限内的函数值都一样。
∫∫e^(x+y)dxdy的被积分函数e^(x+y)在每一个象限内的函数值不一样，只能分区域计算。计算过程如下(注意：∫(a,b)表示从a到b积分）：
∫∫e^(x+y)dxdy=∫(-1,0)e^xdx∫(-1-x,1+x)e^ydy
+∫(0,1)e^xdx∫(x-1,1-x)e^ydy
=∫(-1,0)e^x[e^(1+x)-e^(-1-x)]dx
+∫(0,1)e^x[e^(1-x)-e^(x-1)]dx
=∫(-1,0)[e^(1+2x)-e^(-1)]dx+∫(0,1)[e-e^(2x-1)]dx
=[e^(1+2x)/2-x/e]|(-1,0)+[ex-e^(2x-1)/2]|(0,1)
=(e-1/e)/2-1/e+e-(e-1/e)/2
=e-1/e.