Question

初三数学题，在线等

某校七、八、九三个年级摄影小组进行一次摄影作品交流活动，每位队员向不同年级的队员送一张作品，这样互相交流的作品共310张，已知七年级组队员数是九年级组队员数的2倍，八年级比七年级组队员少3人，问三个摄影组各有多少人？

Answer 1

接上楼的
我把海伦公式的证明写一下：　证明（1）：
　在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
　　cosC
=
(a^2+b^2-c^2)/2ab
　　S=1/2*ab*sinC
　　=1/2*ab*√(1-cos^2
C)
　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
　　设p=(a+b+c)/2
　　则p=(a+b+c)/2,
p-a=(-a+b+c)/2,
p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
另外
我还想你介绍几个结论;1梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。　或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
下给出证明：　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
　　则AF/FB=AG/BD
,
BD/DC=BD/DC
,
CE/EA=DC/AG。
　　三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
2塞瓦定理：　在△ABC内任取一点O，
　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
下给出证明;（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
　　∵△ADC被直线BOE所截，
　　∴
(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
①
　　而由△ABD被直线COF所截，∴
(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
　　②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC
③
　　同理
CE/EA=S△BOC/
S△AOB
④
AF/FB=S△AOC/S△BOC
⑤
　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
　　根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
　　可用塞瓦定理证明的其他定理;
　　三角形三条中线交于一点（重心）:如图5
D
,
E分别为BC
,
AC
中点
所以BD=DC
AE=EC
所以BD/DC=1
CE/EA=1
　　且因为AF=BF
所以
AF/FB必等于1
所以AF=FB
所以三角形三条中线交于一点
3托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
下给出证明;一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD
∠ABE=∠
ACD
　　因为△ABE∽△ACD
　　所以
BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD
(1)
　　又有比例式AB/AC=AE/AD
　　而∠BAC=∠DAE
　　所以△ABC∽△AED相似.
　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD
(2)
　　(1)+(2),得
　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
　　又因为BE+ED≥BD
　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
　　所以命题得证
4斯特瓦尔特定理：　设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有
　　AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。
下给出证明：　证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有
　　AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH，（1）
　　AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。
（2）
　　用BD乘(1)式两边得
　　AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，（1）′
　　用DC乘(2)式两边得
　　AB^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC。（2）′
　　由（1）′+（2）′得到
　　AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC
　　=AD^2·BC+BD·DC·BC。
　　∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。
　　或者根据余弦定理得
　　AB^2=PB^2+PA^2-2PB·PA·cos角APC
　　AC^2=PA^2+PC^2-2PA·PC·cos角APC
　　两边同时除以PB·PA·PC得
　　AC^2·PB+AB^2·PC=(PB^2+PA^2)PC+(PA^2+PA^2)PB
5张角定理：　在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
　　逆定理
如果
sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，
　　那么B,D,C三点共线。
下给出证明：　设∠1＝∠BAD，∠2＝∠CAD
　　由分角定理，
　　S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)
　　→
(BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC
(1.1)
　　S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)
　　→
(CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB
(1.2)
　　(1.1)式＋(1.2)式得
sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD6九点圆定理：　三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆.
这个定理的证明有点麻烦
你记住结论就可以了
~~~

Answer 2

（1）连接OE
∵△CDE∽△CBA（这个自己证一下，easy）
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE=90°-∠4=90°-∠3
∴∠CEO=180°-∠3-（90°-∠3）=90°
∴OE为⊙O切线
（2）tan∠ACB=√2
/2=AB/BC
∵BC=2
∴AB=√2
∵△CDE∽△CBA
∴DE=1，CD=√2
∴CE=√3
在Rt△CEO中
∴EO=√3

Answer 3

1.一圆锥和圆柱体底面半径相等，当搞都等于半径时，圆锥和圆柱的侧面积的比是(根号2:2
)
2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以一条直角边为轴旋转一周所得的几何体的表面积是(
15π
或
20π)
3.一个圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm，啧它的侧面展开图的圆心角等于_120___度。
4.一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，啧这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于
_72度___。
5.一个圆锥形零件，经过轴的剖面是一个顶角为60°的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是__180度___。
9.在半径为30m的圆形广场的中心上空，设置一个照明光源，射向地面的光束呈圆锥形，它的截面顶角为120°，要使它的光源照到整个广场，则光源的高度至少要_17.3____m.(精确到0.1m，根号2=1.41，根号3=1.73.
10.一个圆柱形容器的底面直径为2m，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形半径至少要有_1.5___m。
11.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长雨底面半径长的比是_2:1___。
12.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的母线长雨底面半径长的比是___2:1__。
13.如图1所示，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12根号2，工人师傅利用这块铁皮做了一个侧面积最大的圆锥，求这个圆锥的底面直径。
解:要做一个侧面积最大的圆锥，则要以B为顶角，AB为母线。(分析略)
所做圆锥侧面展开图为圆心角30°，半径24的扇形
其弧长=2π*24*30/360=4π
这个圆锥的底面直径=2*(4π/2π)=4

Answer 4

设7年级X人,8年级X-3人,9年级2X人
7年级要送作品=8,9年级人数=X-3+2X
8年级要送出作品数=X+3X
9年级=X+X-3
一共2(X+X-3+2X)=310,X=38
7年级38人,8年级35人,9年级76人

Answer 5

假设：九年级x人，七年级2x，八年级2x-3
人，根据题意，列出方程：2x（2x-3）+2x^2+（2x-3)x +(2x-3)x+2x^2+（2x-3）x=310
解得：x=5