求证:x>1时,x²/2+lnx<2x³/3
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令f(x)=x²/2+lnx-2x³/3
f'(x)=x+1/x-2x²=(x²+1-2x³)/x
令g(x)=x²+1-2x³
g'(x)=-6x²+2x=-2x(3x-1)
x<0,x>1/3,g'(x)<0,g(x)是减函数
此处x>1
所以g(x)是减函数
所以g(x)<g(1)=-2
即x²+1-2x³<0,x>1
所以f'(x)<0
所以x>1,f(x)是减函数
所以f(x)<f(1)<0
所以x²/2+lnx<2x³/3
f'(x)=x+1/x-2x²=(x²+1-2x³)/x
令g(x)=x²+1-2x³
g'(x)=-6x²+2x=-2x(3x-1)
x<0,x>1/3,g'(x)<0,g(x)是减函数
此处x>1
所以g(x)是减函数
所以g(x)<g(1)=-2
即x²+1-2x³<0,x>1
所以f'(x)<0
所以x>1,f(x)是减函数
所以f(x)<f(1)<0
所以x²/2+lnx<2x³/3
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