Question

已知f(x)是定义域在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1若a,b∈[-1,1] ,a+b≠0，有f(a)+f(b)/a+b>0成立

(1)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式f(x+(1/2)<f(1/(x-1))
（3）若f(x)<=m^2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围

请写出过程！！

Answer 1

(1):因为a>b,所以a-b>0,即a+(-b)>0,所以[f(a)+f(-b)]/(a-b)>0
而a-b>0,所以f(a)+f(-b)>0,又因为f(x)为奇函数,所以f(-b)=-f(b)
所以f(a)-f(b)>0,所以f(a)>f(b)
(2):因为f(x)定义域为[-1,1],所以-1≤x-1/2≤1,-1≤x-1/4≤1
由(1)知f(x)为增函数,所以x-1/2＜x-1/4
所以-1/2≤x≤5/4
(3):因为f(x)定义域为[-1,1],所以对于g(x)=f(x-c),令-1≤x-c≤1,
即c-1≤x≤c+1,对于h(x)=f(x-c^2),令-1≤x-c^2≤1,即c^2-1≤x≤c^2+1
因为g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c^2)这两个函数定义域的交集是空集
所以c+1＜c^2-1.......<1>或c-1＞c^2+1......<2>
由<1>得:c<-1或c>2,由<2>得:c无解,
所以c的取值范围为{c|c>2或c<-1}

Answer 2

解(1) f(x)在[-1,1]上是增函数
任取 [-1,1] 上的 x1, x2，且 x1 < x2
则 [f(x1) + f(-x2)]/(x1 - x2) > 0
即 [f(x1) - f(x2)]/(x1 - x2) > 0
因为 x1 < x2
所以 f(x1) < f(x2)
结论得证
(2) 因为 f(x+1/2)<f(1/(x-1))
由上题的结论可得
x+1/2<1/(x-1)
因为 x 在 [-1,1]上 ，这里的 x 在 [-1,1)
所以 x - 1 < 0
即 不等式 变化 得 x^2 + x/2 - x - 1/2 > 1
化简 得 (2x - 3)(x + 1) > 0
解 得 x < -1 , x > 3/2
综上所述 无解
(3) f(x) < f(1) = 1
所以 1 <= m^2 - 2am + 1
化简 0 <= m^2 - 2am
即 0 <= m(m - 2a)
当 a 在 [-1,0] 时 m <= 2a 或 m => 0
当 a 在 [0,1] 时 m => 2a 或 m <= 0