Question

一道初中数学题（几何证明题）

如图，已知正方形ABCD，E为BC上任意点，延长AB至F，使BF=BE，AE的延长线交CF于G。求证：AG⊥CF

Answer 1

BF=BE
AB=BC
角ABE=角CBF=90度
所以三角形ABE全等于三角形CBF
所以角GAB+角BFC=角GAB+角AEB=90度
所以AG⊥CF
（用位似旋转做更简单）

Answer 2

三角形ABE和CBF全等所以角F=角AEB
角F+角EAB=角EAB+角AEB=90
所以角AGF=90

Answer 3

证明：
因为
∠ABE=∠CBF,
AB=CB,BE=BF,
根据边角边定理可以判定
三角形ABE全等于三角形CBF。
所以∠EAB=∠FCB,
∠AEB=∠CFB,
又因为
∠AEB+∠EAB=90度，
所以
∠AGF
=180-(∠EAB+∠AFG)
=180-(∠EAB+∠AEB)
=180-90
=90度。
所以AG⊥CF。
得证。

Answer 4

证明：因为四边形ABCD是正方形
所以∠ABE=∠CBF=90°，AB=CB
在△ABE和△CBF中
AB=CB
∠ABE=∠CBF
BE=BF
所以△ABE全等于△CBF
所以∠EAB=∠BCF
因为∠AEB=∠CEG
所以∠EAB+∠AEB=∠BCF+∠CEG=90°
所以∠AGC=90°

Answer 5

解:因为ABCD是正方形
所以AB=BC
所以角ABE=角CBF=90°
即{AB=BC[已证],角ABE=角CBF[已证]BF=BE[已知]
得S三角形ABE=S三角形CBF[SAS]
即角AEB=角F[全等三角形的对应角相等]
得角AEB=角CEG[对顶角相等]
因为角BAE=角+角BEA=角CBF=90°
所以角FCB+角CEG=角AGF=90°
得AG⊥CF