Question

一道初中数学题（几何证明题）

如图，已知正方形ABCD，BE‖AC，AE=AC，求证：CF=CE。

Answer 1

连接BD，交AC于O。做EM垂直于AC。
AC垂直于BD且互相平分，则OBEM是长方形，

AC=AE，

所以EM=AE/2……直角三角形AEM的角EAM=30度

角ACE=角AEC=（180-30）/2=75度

角BAF=角BAC-30=15度

三角形ABF中，角AFB=90-15=75度=角CFE

角CFE=角CEF=75度。

所以：CF=CE

Answer 2

楼上朋友的证明十分精彩，我这里用另一种思路来证明，因为比较麻烦，所以算是蛇足吧。
简便起见，设正方形边长为1，由E作AB的垂线交AB延长线于G，由BE‖AC，易证△BGE为等腰直角△。
AE=AC=√2，设GE=x，由直角△AGE得AG^2+GE^2=AE^2，即x^2+(1+x)^2=2，化简得2x^2+2x-1=0，解得x=(√3-1)/2=GE=BG。
BE=√2GE=(√3-1)/√2，而BF=AB*GE/AG=(√3-1)/(√3+1)
所以BC/BE=BE/BF=(√3+1)/√2，即得△BCE相似于△BEF，则∠BCE=∠AEB=∠CAE，所以△ACE相似于△CEF，CF=CE。证毕。