Question

设函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2

设函数f(x)=x^2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2，求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性

Answer 1

1.f(x)定义域为(-1,正无穷),由f(x)的导数=0得2x^2+2x+a=0,得a=-2x^2-2x.
令g(x)=-2x^2-2x,当x在区间(-1,正无穷),g(x)的范围是(负无穷，1/2),这也就是a的范围。
2.单调性就简单了，令f(x)<0,即可解得x关于参数a的表达式，得到递减区间，令f(x)>0同样可以得到递增区间；但要注意的是在解x时，要注意a的范围，在1中已求得a的范围，但求x时可能要对a在已求范围内进行讨论，得到不同的x的表达式

不好意思，5分太少，我就不算了

Answer 2

解：（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x2+aln（x+1）可得f′（x）=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1．
∵f（x）=ax3+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x2+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为△=4-8a＞02-2+a＞0，
解得0＜a＜12；
（2）由a=38可知x1=-34，x2=-14，从而知函数f（x）在（-1，-34）上单调递增，在（-34，-14）上单调递减，在（-14，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-34]上连续、单调递增，且
f（-34）=（-34）2+38ln（-34+1）=916-34ln2＞-14，
以及f（-1+1e4）=（-1+1e4）2+38ln（1e4）=-12-2e4+1e8＜-14，故方程f（x）=-14
在（-1，-34]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-34，-14）上单调递减，在（-14，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-34，+∞）上的最小值，
f（-14）=（-14）2+38ln（-14+1）=-116+38ln34＞-14，故方程f（x）=-14在（-34，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-14有且只有一个实数根．