Question

设f(x)=x²-2ax+2,当x∈[-1,正无穷)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围

Answer 1

该题即是证当x∈[-1,+∞)时,g(x)=x²-2ax+2-a≥0恒成立.

易知g(x)是二次函数.画出坐标轴,结合图像分析.若要上述条件成立.

分2种情况.1种是g(x)图像与x轴无或者仅有1交点.
即△=4a^2+4a-8≤0.此时g(x)≥0恒成立.

第二种情况是g(x)与x轴有2个交点.
即△=4a^2+4a-8＞0
此时还需满足g(-1)≥0.
对称轴x=a≤-1.

由上可解得a的取值范围.

Answer 2

设g(x)=f(x)-a那么，g(x)=(x-a)²+2-a-a²g(x)的图像是开口向上，对称轴为x=a的抛物线当X∈[-1，
+∞）时，f（x）≥a恒成立,则：2-a-a²>0......(A)或2-a-a²≤0且a<-1且g(-1)≥0......(B)解(A)得：-2<a<1解(B)得：-3≤
a≤-2故所求a的取值范围是【-2.1）