Question

已知函数f(x)=1/3*x^3+mx^2.若f(x)在x=-2处取得极值,直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求a的取值范

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已知函数f(x)=1/3*x^3+mx^2.若f(x)在x=-2处取得极值,直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同的交点,求a的取值范围

Answer 1

求导：f'(x)=x²+2mx
因为f(x)在x=-2处取得极值
∴f(-2)=0
即4-4m=0
得到m=1
∴f(x)=1/3x³+x²
∴f'(x)=x²+2x=x(x+2)
根据导函数的性质可知
f(x)在x=-2时取得极大值4/3
在x=0时取得极小值0
要使直线与f(x)图像有3个交点
∴直线要位于f(x)图像极大值和极小值之间
∴0＜a＜4/3

Answer 2

由函数的一阶导数知道X在0，-2m为驻点
推出m=1
则知道2阶导函数在-2大于零 则-2为极大值 0为极小值
则函数先增到-2减小 到0再开始增大
再求出f(-2)=4/3 f(0)=0 则 0<a<4/3

Answer 3

先求导！f'(x)=（x+2m）*x
因为x=-2处有极值
所以m=1
同时可知极值分别为4/3和0
因为有三个根，所以a?(0,4/3)

Answer 4

求导:f'(x)=x^2+2mx
因为在x=-2处取得极值
所以f'(-2)=4-4m=0 解得m=1
所以f'(x)=x^2+2x
f(x)=1/3x^3+x^2
今f'(x)=x^2+2x=0 解得x=0 x=-2
所以函数在x<-2和x>0上是单调递增,在-2<x<0上是单调递减,
所以最大值为f(-2)=4/3 最小值为f(0)=0
画图可知a的取值范围为0<a<4/3