Question

已知abc为正实数，a+b+c=1 求证a²+b²+c²≥1/3

Answer 1

第一种
直接：
3（a²+b²+c²）=（a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)
=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²）+（b²+c²））
≥（a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1
所以a²+b²+c²≥1/3

第二种
可以用柯西不等式

（1²+1²+1²）*（a²+b²+c²)≥（1*a+1*b+1*c)²
化简可得a²+b²+c²≥1/3

第三种：
可以构造

构造函数：f（X）=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3
所以f（X）=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)=
(ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0
故知：f(X)在X轴上方
所以△≤0
即（2(a+b+c)）²-4*(a²+b²+c²)*3≤0

得a²+b²+c²≥1/3

Answer 2

∵（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 (1)
a^2+b^2>=2ab、(2)
a^2+c^2>=2ac、(3)
b^2+c^2>=2bc (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc ≥1+2ab+2ac+2bc
3a^2+3b^2+3c^2 ≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3

Answer 3

因为 a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca

所以: 2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1 ≤a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)

所以a²+b²+c²≥1/3

Answer 4

(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（a2+c2）+(b2+c2)
=3(a2+b2+c2)
因为a+b+c=1，所以1≤3（a2+b2+c2）
所以a2+b2+c2≥1/3