已知abc为正实数,a+b+c=1 求证a²+b²+c²≥1/3

bjtanghui
2009-08-30 · TA获得超过1.2万个赞
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第一种
直接:
3(a²+b²+c²)=(a²+b²+c²+a²+b²+c²+a²+b²+c²)
=(a²+b²+c²+(a²+b²)+(a²+c²)+(b²+c²))
≥(a²+b²+c²+2ab+2bc+2bc)=(a+b+c)²=1
所以a²+b²+c²≥1/3

第二种
可以用柯西不等式

(1²+1²+1²)*(a²+b²+c²)≥(1*a+1*b+1*c)²
化简可得a²+b²+c²≥1/3

第三种:
可以构造

构造函数:f(X)=(a²+b²+c²)X²+2(a+b+c)X+3
所以f(X)=(a²X²+2aX+1)+(b²X²+2bX+1)+(c²X²+2cX+1)=
(ax+1)²+(bx+1)²+(cx+1)²≥0
故知:f(X)在X轴上方
所以△≤0
即(2(a+b+c))²-4*(a²+b²+c²)*3≤0

得a²+b²+c²≥1/3
红红火火侠客
推荐于2016-12-01 · TA获得超过1.2万个赞
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∵(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
∴ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1 (1)
a^2+b^2>=2ab、(2)
a^2+c^2>=2ac、(3)
b^2+c^2>=2bc (4)
(1)+(2)+(3)+(4)得
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc ≥1+2ab+2ac+2bc
3a^2+3b^2+3c^2 ≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
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荒岛840611
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因为 a^2+b^2≥2ab
b^2+c^2≥2bc
c^2+a^2≥2ca

所以: 2(a^2+b^2+c^2)≥2(ab+bc+ca)

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1 ≤a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)

所以a²+b²+c²≥1/3
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圆周独隐
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(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)
=3(a2+b2+c2)
因为a+b+c=1,所以1≤3(a2+b2+c2)
所以a2+b2+c2≥1/3
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