Question

数学难题 高手请进

一。用Rb(a)表示正整数a被b除所得的正的余数。若Ra(Rb(a))=5,则a的最小可能值是_______
二。设p,q,r,s,t是五个质数（可能重复），使得p^2+q^2+r^2+s^2+t^2＝552，则p+q+r+s+t=_______
三不等式x-1>〔x〕*｛x｝的解是_______(〔x〕表示不超过x的最大整数；｛x｝＝x-〔x〕)
sdsyl1984:
感谢您的回答！但第一题能否给与详细步骤，第二题请注意9和10不是质数，第三题的答案我认为不对，因为[x]-1>0不能推出x大于1（若x等于1.5，则[x]-1=0，不等号变为等号）我认为好像是x大于2

Answer 1

第一题。按照定义Rb(a)=a%b(即a对b取余数)。条件是(a%b)%a=5，问a的最小值。首先，应该有a>b，否则a%b为a或者0，再模a必然为0，不可能为5。假设a=kb+r(0<=r<b)，于是a%b=r，因为a>b>r，所以(a%b)%a=r，这说明r=5，即a=kb+5。因为b>5，所以b最小6，根据a>b，又有k>=1，于是a最小为1*6+5=11，此时b=6即满足条件

第二题。注意质数中只有2是偶数，其他的都是奇数。因此这5个质数必然有一个为2，否则5个奇数的平方相加还是奇数，不会是偶数(552)。因为我们care的是五个数的和，不care谁是2，t=2好了，这样p^2+q^2+r^2+s^2=548。再来考察模3的情况，我们知道一个数可以表示3k、3k-1或3k+1，前者的平方模3余0，后两者的平方模3余1，548%3=2，因此必然有一个为3k，否则4个数的平方模3余1，3k是质数的只有3，s=3好了，这样p^2+q^2+r^2=539。再次考察模3的情况，知道必然还有一个为3，r=3，这样p^2+q^2=530，并且不会再有2、3。是素数的平方，并且不超过530的就几个，25、49、121、169、289、361、529，其中169+361=530，因此p=19，q=13。于是5个数之和19+13+3+3+2=40

第三题
x-1 > [x]*{x} <=>
x-1 > [x]*(x - [x]) <=>
[x]^2-1 - x([x]-1) > 0 <=>
([x]-1)([x]+1) - x([x]-1) > 0 <=>
([x]-1)([x]+1-x) > 0
注意[x]+1-x恒为正数，因此[x]-1>0 <=> [x]>1 <=> x>=2

Answer 2

1. 11
2. 9 ,9 ,10 ,11, 13
3. x-1>[x]*(x-[x])=x*[x]-[x]^2
[x]^2-x*[x]+x-1>0
([x]-1)*([x]+1)-x*[[x]-1)>0
([x]-1)*([x]+1-x)>0
[x]+1-x>0恒成立
所以[x]-1>0
x>1

Answer 3

我也顺便问一下，此题可以用微积分来解吗？好像有难度。

Answer 4

你肯定哪里没弄全~~~~~做错扣的话，1分？2分？····
若是错一题扣1分，不就可能有4分的吗？！扣2分的话，肯定不这么问了~~~~
再说了，也没说不答题是0分还是扣分·····
·····
你这题肯定有问题！！

Answer 5

做对一题得1分吧
1个3分，3个4分，差平均分4.2,所以至少21个5分，而另1人不低于4.8。故另1人5分

Answer 6

恩，题目绝对打错了，应该是做错了减分，但是楼主没说减多少，不可能做出来的