Question

已知定义在(0,正无穷)上的函数f(x)满足:1、对任意的x、y属于(0,正无穷),都有f(xy)=f(x)+f(y);2、当x>1时

f(x)>0,求证
1、f(1)=0
2、对任意的x属于（0，正无穷），都有f(1/x)=-f(x)
3、f(x)在（0，正无穷）上是增函数

Answer 1

解：1.
f(xy)=f(x)+f(y)取y = 1 ，x = 1
则有 f(1*1）=f(1)+f(1) 既2f（1）= f（1）
则f（1）= 0
2.
因为 x属于(0,正无穷)，所以有 1 = 1/x * x
则 f(1)= f(1/x) + f(x) = 0
所以 f(1/x) = - f(x)
3.设a>1，x>1,f(a*x) = f(a)+f(x)
则有 f(a*x)-f(x) = f(a)
a*x > x,f(a) > 0
所以f(x)在（0，正无穷）上是增函数

Answer 2

1 令x=y=1 2 令y=1/x 3 设0小于x1小于x2 x2/x1大于1 F(X2/X1)大于0 f(x2)+f(1/x1)大于0 f(x2)-f(x1)大于0 所以f(x2大于(f(x1)

Answer 3

证明：
1、
f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)，所以2f(1)=f(1)，从而f(1)=0。
2、
0=f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)，所以f(1/x)=-f(x)。
3、
设y>x>0，则y/x>1；根据已知，y/x>1时f(y/x)>0，所以f(y)=f(y/x)+f(x)>f(x)，所以f是增函数。