Question

请教一道高数证明题？

设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=f(1).证明：对自然数n>=2,必有m属于（0，1），使得f(m)=f(m+1/n).
第一位给出的证明好象有问题嘛?

Answer 1

证明：将m改为x，设F(x) = f(x)-f(x+1/n)
因为f(x)在[0，1]上连续，所以F(x)在[0，1]上连续,得：
F(0) = f(0)-f(1/n)
F(1/n) = f(1/n)-f(2/n)
F(2/n) = f(2/n)-f(3/n)
……
F(n-2/n) = f(n-2/n)-f(n-1/n)
F(n-1/n) = f(n-1/n)-f(1)
将上面n个式子相加，得：F(0)+F(1/n)+……+F(n-1/n)=f(1)-f(0)=0(*)
所以由（*）式可知：必存在a,b属于（0，1），使得F(a)*F(b)<0，又F(x)在[0，1]上连续，所以由零点定理可知：存在m属于（a,b）包含于(0，1),使得f(m)=f(m+1/n).

Answer 2

当 n = 2 时，f(x) 是 [0,1/2] 区间上，过两点 (0, f(0)), (1/2, f(1/2)) 的连续函数

令 f2(x) = f(x+1/2)，则 f2(x) 是在 [0,1/2] 区间上，过两点 (0, f2(0))，(1/2, f2(1/2)) 的连续函数

实际上，f2(0) = f(1/2); f2(1/2) = f(1) = f(0)，
因此，f2(x) 是过两点 (0, f(1/2)), (1/2, f(0))
的连续函数

不难证明，f(x) 和 f2(x) 在区间 (0,1/2) 上必有交点

对于其他 n>=2，可以按如下方法构造函数：
在 [0, 1/n] 上的连续函数 f(x)
函数过两点 (0, f(0)) 和 (1/n, f(1/n))

在 [1/n, 1] 上的连续函数 fn(x) = f((n-1)x+1/n)
函数过两点 (0，fn(0)), (1/n, fn(1/n))
而 fn(0) = f(1/n)，fn(1/n)=f(1)=f(0)

这两个函数在区间 (0, 1/n) 上必有交点

该交点即满足 f(m) = f(m+1/n)