Question

高中数学弧度制与扇形问题

1.一扇形周长20CM，当其圆心角为多少弧度为多少时，扇形面积最大，最大
面积为多少？
2.扇形面积为25平方厘米，求扇形周长的最小值。

Answer 1

1.一扇形周长20CM，当其圆心角为多少弧度为多少时，扇形面积最大，最大面积为多少？
【解答】设圆心角是n,半径是r,则弧长是l=nr
20=2r+nr
S=1/2*l*r=1/2*nr*r=1/2*(20-2r)r=(10-r)r=-r^2+10r=-(r-5)^2+25
即当r=5时,面积最大是25平方厘米.
此时圆心角是n=(20-2*5)/5=2.

2.扇形面积为25平方厘米，求扇形周长的最小值。
【解答】设圆心角是n,半径是r
则周长c=2r+nr.
S=1/2*nr*r,nr=2S/r
c=2r+2S/r
2r^2-cr+2S=0
判别式=c^2-4*2*2S>=0
c^2>=16S,c>=4根号S
即周长最小值是：4根号S。

或：c=2r+2S/r>=2根号[2r*2S/r]=4根号S。

当2r=2S/r,r=根号S时，取“=”。
S=1/2nr^2=1/2n*S,即角n=2