Question

设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点

设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点,AF2垂直于F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3|OF1|,
设Q1,Q2为椭圆上的两个动点，OQ1垂直于OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。

此为高三数学题，谢谢您帮助解答。

Answer 1

过O点作OB垂直AF1于点B 易知三角形OBF1与三角形AF2F1相似 又OB＝1/3 OF1 所以AF2＝1/3 AF1
因为AF1＋AF2＝2a 所以AF1＝3/2a AF2＝1/2a
|F1F2|^2=4c^2=|AF1|^2-|AF2|^2=2a^2
所以a^2＝2c^2 b^2＝a^2－c^2＝c^2
所以a^2＝2b^2 即a＝根号2b
下面接着做吧.

Answer 2

(Ⅱ)设点D的坐标为(x0，y0) 当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为 ，所以直线Q1Q2的方程为
点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标满足方程组 将(1)式代入(2)式，得x2+2(kx+m)2=2b2 整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0
于是 （3）
由(1)式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+k2
　 （4）
由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，将(3)式和(4)式代入得

3m2=2b2(1+k2) 将 代入上式，整理得 当y0=0时，直线Q1Q2的程为x=x0，Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)的坐标满足方程组
所以 由OQ1⊥OQ2知x1x2+y1y2=0，即
解得 ,这时，点D的坐标仍满足 　综上，点D的轨迹方程为X^2+Y^2=2/3B^2