Question

定积分换元法条件

给出两个定理
1 设f(x)在[a,b]上连续，F（x)是f(x)的任意一个原函数，那么f(x)在[a,b]上积分=F(b)-F(a)
2 若设f(x)在[a,b]上连续,函数x=g(t)在区间[m.n]上有连续导数，当t在[m,n]上变化时 g(t)的值域为[a,b]，且g(m)=a g(n)=b,那么定积分第二类换元法成立

现有函数 F(X)是 f(x) 原函数，f(x)在[-1,1]上连续，那么F（cosx)是 -f(cosx)sinx的原函数
根据定理（等式从两边往中间看）
-f(cosx)sinx在（pai/2,5pai/2)上积分=F(5pai/2)-F(pai/2)=F(u)在（u=cospai/2=0, u=cos5pai/2=0)上积分

-f(cosx)sinx在（pai/2,5pai/2)上积分=
F(u)在（u=cospai/2=0, u=cos5pai/2=0)上积分
这个等式从右往左看，是个定积分二类换元，但显然cosx在（pai/2,5pai/2)不以（0，0）为值域，那么这个等式又是不成立的，这个矛盾到底在哪啊？？？
诚恳的呼吁高手解答啊，帮我分析下二类换元的条件，每个条件不成立会出现什么情况，分不多了，帮我答出这个题，承诺以后有分就免费送你！！
本人QQ 228538930 知道的大哥大姐们也可以加我QQ仔细告诉我

Answer 1

1.不要求单调，证明中可以看出来
2.如果函数f(x)在比[a,b]更大的区间[A,B]上确定且连续，于是只需要求g(t)的值不越出区间[A,B]的范围就够了
感觉你心很细，建议你苦读一下菲赫金哥尔茨的<<微积分学教程>>（可以说是世界上最好的数学分析教材），你一定会大有收获

Answer 2

换元时,要求函数在积分区域内单调,如果你要说值域的对应关系时,可以用更严格的条件,即函数在积分区域内单调递增