Question

一个函数数学问题

若定义在R上的函数f(x)满足：
f(x)=log2(1-x),x<=0.
f(x-1)-f(x-2),x>0

则f（2009）=？
log2(1-x),x<=0
f(x-1)-f(x-2),x>0

后面是X的取值范围。

给个解释啊

Answer 1

当x>0的时候有：f(x)=f(x-1)-f(x-2)
同理，当x-1>0的时候有：f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)，此时带入上式中，有：
f(x)=f(x-1)-f(x-2)=f(x-2)-f(x-3)-f(x-2)=-f(x-3) 式1；
如果x-3>0，有：f(x-3)=f(x-4)-f(x-5)
如果x-4继续大于0，有：f(x-4)=f(x-5)-f(x-6)，带入上式，有：
f(x-3)=f(x-4)-f(x-5)=f(x-5)-f(x-6)-f(x-5)=-f(x-6) 式2；
将等式2带入等式1中有：
f(x)=-f(x-3)=f(x-6)
得出规律：f(x)=(-1)^n*f(x-3n) 其中，n为1、2、3、..... 式3
需要注意的是式3中的n最大不能使x-3n小于等于0。
根据我们得出的规律，f(2009)=(-1)^669*f(2009-3*669)=-f(2);
因为2>0，f(2)=f(1)-f(0)=f(1)-log2(1-0)=f(1);
因为1>0,f(1)=f(0)-f(-1)；
所以有：f(2009)=-f(2)=f(-1)-f(0)=f(-1)=log2(2)。这就是最终答案了。

Answer 2

f(x-1)-f(x-2),x>0????

Answer 3

1