Question

a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3

快点同志们

Answer 1

【证】
因为
[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]^2
=3a+2 +3b+2 +3c+2+2[√（3a+2） √（3b+2 ）+√（3a+2 ）√（3c+2）+√（3b+2） √（3c+2) ]
=9+2[√（3a+2） √（3b+2 ）+√（3a+2）√（3c+2）+√（3b+2 ）√（3c+2) ]
≤ 9+2(3a+2 +3b+2 +3c+2)=27

两边开平方：
√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2))≤ 3√3

Answer 2

【证】根据柯西不等式:

[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]^2≤ [(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)](1+1+1)
=3[3(a+b+c)+6]=3×9＝27

又因为√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)>0所以两边开方

√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3

得证。