Question

一道关于圆的数学题

已知a ≠b，且a＾2 sinθ ＋acosθ － π/4＝0 ，b ＾2sin θ＋bcosθ － π/4＝0，则连接(a，a＾2)，(b，b＾2)两点的直线与单位圆的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
请解析，谢谢

Answer 1

a,b为方程x^2sinθ+xcosθ-π/4=0两根
则a+b=-cotθ ab=-π/4sinθ
连线为y=(a+b)x-ab
线到原点距离为 d=|ab|\[(a+b)^2+1]^(1\2)
(ab)^2=(cscθ)^2 (a+b)^2+1=(π/4)^2(cscθ)^2
因此d<1直线与单位圆相交

Answer 2

答案为: A．相交

a＾2 sinθ ＋acosθ － π/4＝0 ------------------(1)
b ＾2sin θ＋bcosθ － π/4＝0 ------------------(2)
(1)*b^2-(2)*a^2,
得:(pi/4)(a-b)(a+b)-ab(a-b)cosθ =0
cosθ=(pi/4)(a+b)/(ab)
(1)*b-(2)*a,
得:ab(a-b)sinθ+(pi/4)(a-b)=0
sinθ=-(pi/4)(1/(ab))

(sinθ)^2+(cosθ)^2
=(pi/4)^2*(1+(a+b)^2)/(a^2*b^2)
=1
(a+b)^2=a^2*b^2*(4/pi)^2-1

直线的斜率=(b^2-a^2)/(b-a)=a+b
直线方程:y=(a+b)x-ab
代入:x^2+y^2=1
得:(1+(a+b)^2)x^2-2ab(a+b)x+a^2*b^2-1=0
现在要看这方程有几个根
判别式=(2ab(a+b))^2-4(1+(a+b)^2)(a^2*b^2-1)
=4((a+b)^2-a^2*b^2+1)
=4((a^2*b^2*(4/pi)^2-1)-a^2*b^2+1)
=4*a^2*b^2*((4/pi)^2-1)>0
有两个根,
所以答案为: A．相交

Answer 3

由于a＾2 sinθ ＋acosθ － π/4＝0 ，b ＾2sin θ＋bcosθ －
π/4＝0
所以（a，a^2)X(cosθ,sinθ)=π/4,（b，b^2)X(cosθ,sinθ)=π/4
注意：上式中的X表示向量内积符号
所以（a-b，a^2-b^2)X(cosθ,sinθ)=0
所以（a-b，a^2-b^2)和(cosθ,sinθ)相互垂直（注意：a ≠b）
而点(cosθ,sinθ)在单位圆上，所以过两点的直线和圆相切
（注意：在唯一选择项的情况下选择B，因为这里虽然垂直但直线和圆还是有相交的可能，但对于单项选择这个条件就足以确定是B）

很不幸，本人的算法里的注意事项被不慎言中，确实是相交，而不是相切；

今天有点背哦，呵呵

答案是A