Question

求x->a,(sinx/sina)^(1/(x-a))的极限

求数学高手解答，求x->a时,(sinx/sina)^(1/(x-a))的极限。

Answer 1

解法一：
原式=(x->a)lim{e^[ln(sinx/sina)/(x-a)]}
=e^{(x->a)lim[ln(sinx/sina)/(x-a)]}
∵(x->a)lim[ln(sinx/sina)/(x-a)]
=(x->a)lim(cosx/sinx) (使用一次罗比达法则)
=cota
∴原式=e^cota
解法二：
原式=(x->a)lim{[1+(sinx-sina)/sina]^[sina/(sinx-sina)]}^
^{(sinx-sina)/[(x-a)sina]}
∵(x->a)lim{[1+(sinx-sina)/sina]^[sina/(sinx-sina)]}=e
(x->a)lim{(sinx-sina)/[(x-a)sina]}
=(x->a)lim{[cos((x+a)/2)/sina][sin((x-a)/2)/((x-a)/2)]}
=(x->a)lim[cos((x+a)/2)/sina]*
*(x->a)lim[sin((x-a)/2)/((x-a)/2)]
=(cosa/sina)*1
=cosa/sina
=cota
∴原式=e^cota

Answer 2

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